Ecuaciones de la hipérbola con centro en el origen

La ecuación de la hipérbola se puede expresar cuando su centro es O = (o1,o2) como:

Si la hipérbola tiene su centro en el origen, O = (0,0), su ecuación es:

Además, los puntos de una hipérbola son los que cumplen la ecuación general de la hipérbola:

siendo A, B, C, D y E escalares (números reales) y necesariamente debe cumplir que los coeficientes de x2 y y2 (A y C) son no nulos y tienen diferente signo.

Elementos de una hipérbola con C(0,0), dados sus vértices y focos (ecuaciones)

Ejemplo:
Hallar la ecuación de una hipérbola sabiendo que su centro es O = (1, 2), un vértice es V2 = (5, 2) y un foco F2 = (6, 2).

Los parámetros serán:
Semieje real: a = 5 - 1 = 4.
Semidistancia focal: c = 6 - 1 = 5.
Dado que:

el semieje imaginario es:

Aplicando estos valores a la ecuación de la hipérbola, tendremos:

Elementos de una hipérbola con C(0,0), dados sus V y F (excentricidad, LR, asintotas)

Ejemplos:

1. Hallar la ecuación de la hipérbola concentro en el origen, eje real paralelo al eje 0x, uno de cuyos vértices está en (−3, 0) y uno de sus focos en (5, 0). Determinar, además, las coordenadas de los extremos del eje imaginario y las ecuaciones de sus asíntotas.

Para comenzar, al observar la figura, la distancia CV1 = 3 y es igual al valor de a, y la distancia CF2 = 5, que equivale al valor de c. haciendo uso de la relación entre a, b y c se tiene:

Dado que los vértices y los focos están sobre el eje X, el eje real es horizontal y la ecuación correspondiente:

Sustituyendo los valores de a y b:

La ecuación pedida es, por tanto:

Para los extremos del eje imaginario, es necesario avanzar desde el centro y de manera perpendicular al eje real, una distancia igual a b, tanto en un sentido como en otro, con lo cual se llega a los puntos B1(0, −4) y B2(0, 4).
Las ecuaciones de las asíntotas se obtienen a partir de las ecuaciones correspondientes al eje real horizontal, esto es:

2. Hallar la ecuación de la hipérbola con centro en el origen, eje real paralelo al eje Y, si uno de sus focos está en (0, −10) y uno de los extremos del eje imaginario es el punto (8, 0). Dar también las coordenadas de sus vértices, el valor de su excentricidad y la longitud de su lado recto.
Como se puede observar en la figura 5, las distancias CV1 y CB1 equivalen a los valores de c y b, respectivamente, y dado que el eje real es vertical, la ecuación correspondiente es: