Demostración de la ecuación de la elipse (origen - horizontal)

Elipse centrada en el origen de coordenadas y eje mayor el eje “X”.

Caso I Elipse horizontal

La ecuación ordinaria para una elipse horizontal, con eje simetría el eje “X” es



La figura muestra además la relación pitagórica entre a, b y c, es decir,



Ejemplo: Dada la ecuación de la elipse determinar: centro, coordenadas de los vértices, eje mayor, eje menor, las coordenadas de los focos y hacer la gráfica.

Solución

1. Como los coeficientes de es uno, entonces la elipse está centrada en el origen de coordenadas.
C(0, 0)
Como a > b, entonces el eje mayor es el eje “X” por tanto



El valor de c se determina con la relación Pitagórica



Nota: c es un número positivo, ya que la distancia siempre es positiva.

Demostración de la ecuación de la elipse (origen - vertical)

Elipse centrada en el origen de coordenadas y eje mayor el eje “Y”.

Caso II Elipse vertical

El eje mayor está en el eje de las y. Las intercepciones en x son (±b, 0) y las intercepciones en y son (0, ±a).
El eje mayor está en el eje de las y.
Dese cuenta que el eje mayor es horizontal si el término tiene el denominador más grande y vertical si el término tiene el denominador más grande. Ya que el más grande de los dos denominadores es , la longitud del eje mayor siempre es 2a y la longitud del eje menor siempre es 2b. La distancia del centro a cualquier foco es |c|.

Hallar la ecuación de una grafica de elipse [centro=(0,0)]

Si el centro de la elipse C(x0, y0) y el eje principal es paralelo a OX, los focos tienen de coordenadas F(X0+c, y0) y F'(X0-c, y0). Y la ecuación de la elipse será:

 

Al quitar denominadores y desarrollar se obtiene, en general, una ecuación de la forma:

           

Donde A y B tienen el mismo signo.

Ecuación de eje vertical de la elipse

Si el centro de la elipse C(x0, y0) y el eje principal es paralelo a OY, los focos tienen de coordenadas F(X0, y+c) y F'(X0, y0-c). Y la ecuación de la elipse será:

         

Hallar los elementos de una grafica de elipse [centro=(0,0)]

Ejemplo:
Hallar los elementos característicos y la ecuación reducida de la elipse de focos: F'(-3, 0) y F(3, 0), y su eje mayor mide 10.



Semieje mayor



Semidistancia focal



Semieje menor



Ecuación reducida



Excentricidad

Elementos de la elipse (origen) dada su ecuación

Ejemplo:
Dada la ecuación reducida de la elipse , hallar las coordenadas de los vértices de los focos y la excentricidad.